Problem: A researcher wants to predict exam scores ((Y)) based on hours studied ((X_1)) and sleep hours before the exam ((X_2)). Data from 5 students:
| Student | (X_1) (Study hours) | (X_2) (Sleep hours) | (Y) (Exam score) | |---------|------------------------|------------------------|--------------------| | 1 | 4 | 6 | 75 | | 2 | 6 | 5 | 85 | | 3 | 2 | 8 | 65 | | 4 | 5 | 7 | 80 | | 5 | 3 | 6 | 70 |
La regresión lineal múltiple es una técnica estadística fundamental que nos permite modelar la relación entre una variable dependiente (Y) y dos o más variables independientes (X1, X2, ..., Xk). Aunque hoy en día el software estadístico hace los cálculos en milisegundos, resolver un ejercicio a mano es crucial para entender la lógica subyacente: matrices, derivadas parciales y el significado de cada coeficiente.
En este artículo, resolveremos dos ejercicios completos usando el método de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO). Trabajaremos con: regresion lineal multiple ejercicios resueltos a mano
Ŷ = -15.12 + 1.534 X₁ + 0.807 X₂
Interpretación:
[ \mathbfY = \mathbfX\boldsymbol\beta + \boldsymbol\varepsilon ] [ \mathbfY = \beginbmatrix 10 \ 12 \ 15 \ 18 \endbmatrix, \quad \mathbfX = \beginbmatrix 1 & 1 & 2 & 1 \ 1 & 2 & 1 & 2 \ 1 & 3 & 3 & 3 \ 1 & 4 & 2 & 4 \endbmatrix, \quad \boldsymbol\beta = \beginbmatrix \beta_0 \ \beta_1 \ \beta_2 \ \beta_3 \endbmatrix ]
La regresión lineal múltiple es una de las técnicas más poderosas y utilizadas en la estadística predictiva y la econometría. A diferencia de la regresión simple, que modela la relación entre una variable dependiente ((Y)) y una sola independiente ((X)), la regresión múltiple incorpora dos o más variables predictoras. Problem: A researcher wants to predict exam scores
El modelo teórico se expresa como:
[ Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_1i + \beta_2 X_2i + \dots + \beta_k X_ki + \varepsilon_i ]
Donde:
Resolver un modelo de regresión lineal múltiple "a mano" implica calcular los estimadores (\hat\beta_0, \hat\beta_1, \hat\beta_2) utilizando álgebra matricial o sistemas de ecuaciones normales. Aunque hoy día el software estadístico lo hace en segundos, hacerlo manualmente proporciona una comprensión profunda de la geometría y la lógica subyacente.
En este artículo, resolveremos dos ejercicios completos paso a paso, utilizando el método de ecuaciones normales y el método matricial.